In some lecture notes I found online it was claimed that Maxwell discovered the Maxwell-Boltzmann distribution while in the course of solving a (then unsolved) examination problem given by Stokes. The reference is to Experiment, Theory, Practice by Kapitsa. I was able to find a Russian copy. Indeed the anecdote is there:
Приведу вам еще четвертый пример. Происходило это в Кембридже, во второй половине прошлого века. Теоретическую физику тогда преподавал Стоке. К нему пришел сдавать аспирантский экзамен один молодой человек. Аспирантский экзамен в те времена был довольно трудный, потому что аспирантур тогда было очень мало — всего две-три, и состязание за право попасть в аспирантуру былр очень трудным. Стоке давал задачу, причем система была такая: давался десяток задач, и студент сам выбирал те, которые он хотел решить. Ему давалось определенное число часов, и Стоке, не стесняясь, ставил часто неразрешимые задачи, чтобы посмотреть, знает ли студент, что эта задача неразрешима. Он ставил, например, такую задачу (то были домаксвелловские времена): найти распределение скоростей в газе. Тогда это распределение скоростей не было известно. Бернулли и все остальные считали, что скорости примерно равны. Молодой человек, к удивлению Стокса, решил эту задачу, и решил правильно. Вы догадываетесь, что этот молодой человек был не кто иной, как Максвелл. Таким образом, открытие закона распределения скоростей молекул в газе было сделано Максвеллом на экзамене.
Unfortunately Kapitsa doesn't cite a reference for this anecdote, nor does he appear to give enough detail for independent verification. The exam he refers to may be the Smith's Prize exam, on which (in a more well-known anecdote) Stokes also set the problem of proving the theorem that bears his name and Maxwell tied for first with Routh. This anecdote is also mentioned in the book, so I don't think it's likely that Kapitsa confused the two. (The problem about the velocity distribution of gases does not appear on the 1854 exam that contained Stokes's theorem.)